能凝结神元而转去离家更近的潘普洛学城做了一名学徒。
曾被认为不具备魔法天赋的托德，进入学城之后，却立即展现出了过人的数学天赋，然后被一位擅长数学研究的大学士（学城内的最高学术称唿，曾发现额外维，即“虚”这个概念的奥斯汀也是一位大学士）看中，成为了后者的学徒，并且越来越得到重视。
几个月前，托德尝试撰写自己的第一篇论文，题目是《直角三角形角度与边长关系辨析》。在这篇论文写到一半时，托德突然发现他画出来角对边与斜边比例的变化图（即正弦函数图）似曾相识没错，和他过去曾经描绘过无数次的魔法图元非常神似。
接下来的事情就很简单了。因为曾经描绘过数千次近似版的五系魔法图元，托德不需要像唐纳那样利用魔法阵中的图元来勾勒制作，而是只用直觉就准确找出了五个精确图元。
此后，托德用自己在学城当学徒的薪水，通过桑坦魔法学院的老同学，购买魔金，
并验证了他的想法，此后的两个多月时间里，他顺利晋升中阶魔法学徒。
出于感恩的想法，托德经过一番内心煎熬，最终还是决定把这个惊人的发现贡献出来。于是，他找了威廉城主，将五个魔法图元悉数交