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“1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
“如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象一个球形的房子，房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里，拿一个气球来。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。”
“好，接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。”
“我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是