知名度以及它与“哥德巴赫猜想”的联系，因此不断有数学爱好者想要试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想，然而到目前为止还没有出现能够通过专业数学工作者审视的证明。
想要证明孪生素数猜想，确实是一个挺难的工作，素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势，而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。
在孪生素数的研究历史上，数学家们前赴后继，直到2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面取得了突破性的进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破。
尽管间隔2与间隔7000万是一段很大的距离，但nature报道还是称其为一个“重要的里程碑”。
张益唐的论文于5月14日在网络上公开，5月21日正式发表；可是就在5月28日，这个常数就被下降到了6000万，然后仅仅过了两天也就是5月31日，这个数字又下降到了4200万，又过了三天，6月2日，则是1300万；次日，5