论文，题目是《直角三角形角度与边长关系辨析》。在这篇论文写到一半时，托德突然发现他画出来角对边与斜边比例的变化图（即正弦函数图）似曾相识——没错，和他过去曾经描绘过无数次的魔法图元非常神似。
接下来的事情就很简单了。因为曾经描绘过数千次近似版的五系魔法图元，托德不需要像唐纳那样利用魔法阵中的图元来勾勒制作，而是只用直觉就准确找出了五个精确图元。
此后，托德用自己在学城当学徒的薪水，通过桑坦魔法学院的老同学，购买魔金，并验证了他的想法，此后的两个多月时间里，他顺利晋升中阶魔法学徒。
出于感恩的想法，托德经过一番内心煎熬，最终还是决定把这个惊人的发现贡献出来。于是，他找了威廉城主，将五个魔法图元悉数交出。
托德花了几分钟时间，将来龙去脉全部说了一边，语气中带着一丝掩饰不住的失望。在听到维恩公爵的第一个问题时，他就已经泄了气。本以为自己发现了了不起的秘密，可实际上却正如威廉城主所言，公爵大人应该早就知道这个秘密了。
唐纳听着托德说完全部经过，微微皱眉，沉默不语。
“这小家伙说了些什么？”丽莎忍到现在，实在忍不下去了。